FP 做数学统计题

今天布置的家庭作业还真是烦人！做完《数学之友》上“统计案例”一章所有习题。我的妈呀，算什么卡方、线性回归，公式繁琐地要命，按计算器都能把人按死。还是让电脑帮我做吧。
不用什么 GNUplot、Mathematica，俺用 Haskell，自己动手，丰衣足食！

一. 独立性检验
卡方就是一个公式：
　　
kaf a b c d =
　　((sqr ((a * d) - (b * c))) * (a + b + c + d)) /
　　　　((a + b) * (c + d) * (a + c) * (d + b))

-- sqr 函数是用来求一个数的平方的，再实现一下：
sqr n = n * n
　　
这样就搞定一种题了！以后算卡方不要太简单，把要检测独立性的四个数据按顺序作为 kaf 函数的参数输入 Hugs 就搞定了！
Main> kaf 184 61 91 9
11.097807845216 :: Double

二. 线性回归分析
其实就是求一个 y = a + bx 中的 a，b。把 xn 值、yn 值各表示为一个列表，像这样来使用：
Main> lrb [1..8] [5.54, 7.52, 10.02, 11.73, 15.69, 16.12, 16.98, 21.06]
2.12142857142857 :: Double
Main> lra [1..8] [5.54, 7.52, 10.02, 11.73, 15.69, 16.12, 16.98, 21.06]
3.53607142857143 :: Double
那么，就可以根据公式把它们抄出来：
　　
lrb xl yl =
　　-- 这里要注意一下，数学中的 sigma 是一种记法而非函数
　　(sigma
　　 (\(x, y) -> (x - xp) * (y - yp)) (zip xl yl)) /
　　　　sigma (\x -> sqr (x - xp)) xl
　　where
　　　　xp = avg xl
　　　　yp = avg yl

lra xl yl = avg yl - (lrb xl yl) * avg xl
　　
其中，avg 函数用来求一个列表的平均值（这里也就是所有 x 取值的平均值啦），它需要知道列表长度：
　　
avg ls = sum ls / len ls

len [] = 0
len (x:xl) = (len xl) + 1
　　
最后一个 sigma 函数的实现也很简单，就是累加嘛，只是写地有些不好看罢了：
　　
sigma f (x:xl) =
　　if xl == []
　　then f x
　　else f x + sigma f xl
　　
重申一遍，这里的 sigma 被表示为函数而非数学形式。那么，猜猜下面的 sigma 的数学形式是什么？
Main> sigma (\(x, y) -> x * y) [(1,4), (5,3), (3,8), (2,4)]
51 :: Integer

三. 线性相关系数
线性相关系数 r 的求法也只是个函数，再抄一遍：
　　
lrr xl yl =
　　　　(sigma
　　 (\(x, y) -> (x - xp) * (y - yp)) (zip xl yl)) /
　　　　sqrt ((sigma (\x -> sqr (x - xp)) xl) *
　　　　 (sigma (\y -> sqr (y - yp)) yl))
　　where
　　　　xp = avg xl
　　　　yp = avg yl
　　
以后这样用就行了：
Main> lrr [1..8] [5.54, 7.52, 10.02, 11.73, 15.69, 16.12, 16.98, 21.06]
0.987345979074916 :: Double
哇！这组数据的线性相关性接近 1，好高啊！

四. 结语
现在发现 Haskell 还真是实用，这个周末数学作业不愁了，打魔兽去喽！
最后给楼下的看客留一个与 FP 没什么关系的小题目：
对于一组线性相关数据，往往要求它的所有产生数据—— a、b、r，还有线性回归函数，顺便还要用这个函数再求一下对未来的预期。我如果当真输入 3 遍数据然后手工计算预期岂不是很傻？！想想看怎么让我只输入一遍数据就得到所有的产生数据（设计一下数据结构而已）还有线性回归函数（其实只有这个才有那么一点点技术含量）。

Haskell：函数 or 数据

haskell里面是不是所有的函数都是lambda实现的？不然为什么 :t 操作符所返回的都是 lambda的表示,也就是说都是用lambda解释的.
呵呵，最好讲下haskell里的type.和java或c里面的不同.

是。只是语法上不太像。也可以说不是，因为那是lambda的"1.5版"（我的“术语”，Scheme中的是1.0版，学名“一阶lambda演算”） ——Curry化算子。Curry化算子认为，一切都是函数（包括普通数据），但如果这个数据的产生式中每一项都是严格的（比如 num = 4 + 3， 3、4都是可以直接推导而不需要进行惰性化的），那么这个数据可以免除其作为函数的义务。对于产生式中有需要推导的数据，Haskell仍将其表示为普通 数据（因为类型可以直接推导来确定。只要产生它的表达式中函数调用存在，那么就会被认作函数；但是它的类型只需要一步即可推导，所以在Haskell中，它“看上去”是普通数据。）。
fact 0 = 1
fact n = n * fact (n-1) -- 这是函数，要推导
num = 5 + fact 4 -- 这个是事实上是函数，但类型上看不出来
另外，之所以haskell中的函数全是lambda的表示，和它的类型系统也有关系。前面说了，Haskell中对函数的理解已经超越了数学映 射1.5倍，重点在于对参数列表的理解。数学映射和一阶lambda都认为参数是连续的、一次传递一批，就像Scheme中那样：
(function arg1 arg2)
但Curry化算子认为参数是不连续的、可以分段传递（前提是个数事先固定），每当传递结束而参数不够是，自动转换为一个期待余下参数的函数。这就意味着，如果用Scheme的语法来说明Curry化算子就成了这样：
((+ 1) 2) ;调用一个固定参数个数为两个的函数
这句代码都将行得通！
(map (+ 1) '(1 4 2 5 2))
这对于Scheme来说是非常荒唐的（用宏另当别论），但对于Haskell这是基础：
map (+1) [1, 4, 2, 5, 2]
所以，Haskell的类型系统中对于函数类型的表示才会是那么多个箭头：因为，只要需要推导，就有函数：
Main> :t (+1)
flip (+) 1 :: Num a => a -> a
看出来了吗？不连续的类型导出过程，和java/c等等等等最大的不同点。
至于Haskell类型系统的核心力量——静态多态类型推断，讲起来是在很麻烦。去看中文版的ML语言的书里讲的很详细。